Selasa, 26 November 2013

Materi Matematika "Faktorial"

Faktorial

Langsung ke: navigasi, cari
Dalam matematika, faktorial dari bilangan asli n adalah hasil perkalian antara bilangan bulat positif yang kurang dari atau sama dengan n. Faktorial ditulis sebagai n! dan disebut n faktorial. Secara umum dapat dituliskan sebagai:
n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2)\cdot (n-3) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
Sebagai contoh, nilai dari 7! adalah 7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=5040. Berikut ini adalah daftar sejumlah faktorial :
n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
12 479001600
14 87178291200
16 20922789888000
18 6402373705728000
20 2432902008176640000
25 1.5511210043×1025
42 1.4050061178×1051
50 3.0414093202×1064
70 1.1978571670×10100
100 9.3326215444×10157
450 1.7333687331×101.000
1000 4.0238726008×102.567
3249 6.4123376883×1010.000
10000 2.8462596809×1035.659
25206 1.2057034382×10100.000
100000 2.8242294080×10456.573
205023 2.5038989317×101.000.004
1000000 8.2639316883×105.565.708

Definisi

Fungsi faktorial didefinisikan sebagai:
n!=\prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{untuk semua }n\ge1.
Selain definisi tersebut, terdapat juga definisi secara rekursif, yang didefinisikan untuk n \ge 0
n! = \begin{cases} n \cdot (n-1)! , & \mbox{untuk } n \ge 1 \\ 1, & \mbox{untuk } n = 0. \end{cases}
Untuk n yang sangat besar, akan terlalu melelahkan untuk menghitung n! menggunakan kedua definisi tersebut. Jika presisi tidak terlalu penting, pendekatan dari n! bisa dihitung menggunakan rumus Stirling:
n! \approx \sqrt{2\pi n}\, \frac{n^n}{e^n}.
Juga terdapat definisi analitik untuk faktorial, yaitu menggunakan fungsi gamma:
\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t
n! = \Gamma(n+1)

Diposting oleh di Tidak ada komentar:

Materi Fisika "Gerak melingkar"

Gerak melingkar


Gerak melingkar.
Gerak Melingkar adalah gerak suatu benda yang membentuk lintasan berupa lingkaran mengelilingi suatu titik tetap. Agar suatu benda dapat bergerak melingkar ia membutuhkan adanya gaya yang selalu membelokkan-nya menuju pusat lintasan lingkaran. Gaya ini dinamakan gaya sentripetal. Suatu gerak melingkar beraturan dapat dikatakan sebagai suatu gerak dipercepat beraturan, mengingat perlu adanya suatu percepatan yang besarnya tetap dengan arah yang berubah, yang selalu mengubah arah gerak benda agar menempuh lintasan berbentuk lingkaran [1].

Besaran gerak melingkar

Besaran-besaran yang mendeskripsikan suatu gerak melingkar adalah \theta\!, \omega\! dan \alpha\! atau berturur-turut berarti sudut, kecepatan sudut dan percepatan sudut. Besaran-besaran ini bila dianalogikan dengan gerak linier setara dengan posisi, kecepatan dan percepatan atau dilambangkan berturut-turut dengan r\!, v\! dan a\!.
Besaran gerak lurus dan melingkar
Gerak lurus Gerak melingkar
Besaran Satuan (SI) Besaran Satuan (SI)
poisisi r\! m sudut \theta\! rad
kecepatan v\! m/s kecepatan sudut \omega\! rad/s
percepatan a\! m/s2 percepatan sudut \alpha\! rad/s2
- - perioda T\! s
- - radius R\! m

Turunan dan integral

Seperti halnya kembarannya dalam gerak linier, besaran-besaran gerak melingkar pun memiliki hubungan satu sama lain melalui proses integrasi dan diferensiasi.
\int \omega\ dt = \theta \ \ \leftrightarrow\ \ \omega = \frac{d\theta}{dt}
\int \alpha\ dt = \omega \ \ \leftrightarrow\ \ \alpha = \frac{d\omega}{dt}
\int \int \alpha\ dt^2 = \theta \ \ \leftrightarrow\ \ \alpha = \frac{d^2\theta}{dt^2}

Hubungan antar besaran sudut dan tangensial

Antara besaran gerak linier dan melingkar terdapat suatu hubungan melalui R\! khusus untuk komponen tangensial, yaitu
\theta = \frac{r_T}{R}\ \ , \ \ \omega = \frac{v_T}{R}\ \ , \ \ \alpha = \frac{a_T}{R}
Perhatikan bahwa di sini digunakan r_T\! yang didefinisikan sebagai jarak yang ditempuh atau tali busur yang telah dilewati dalam suatu selang waktu dan bukan hanya posisi pada suatu saat, yaitu
r_T \approx |\overrightarrow{r}(t+\Delta t)-\overrightarrow{r}(t)|\!
untuk suatu selang waktu kecil atau sudut yang sempit.

Jenis gerak melingkar

Gerak melingkar dapat dibedakan menjadi dua jenis, atas keseragaman kecepatan sudutnya \omega\!, yaitu:
  • gerak melingkar beraturan, dan
  • gerak melingkar berubah beraturan.

Gerak melingkar beraturan

Gerak Melingkar Beraturan (GMB) adalah gerak melingkar dengan besar kecepatan sudut \omega\! tetap. Besar Kecepatan sudut diperolah dengan membagi kecepatan tangensial v_T\! dengan jari-jari lintasan R\!
\omega = \frac {v_T} R
Arah kecepatan linier v\! dalam GMB selalu menyinggung lintasan, yang berarti arahnya sama dengan arah kecepatan tangensial v_T\!. Tetapnya nilai kecepatan v_T\! akibat konsekuensi dar tetapnya nilai \omega\!. Selain itu terdapat pula percepatan radial a_R\! yang besarnya tetap dengan arah yang berubah. Percepatan ini disebut sebagai percepatan sentripetal, di mana arahnya selalu menunjuk ke pusat lingkaran.
a_R = \frac {v^2} R = \frac {v_T^2} R
Bila T\! adalah waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan satu putaran penuh dalam lintasan lingkaran \theta = 2\pi R\!, maka dapat pula dituliskan
v_T = \frac {2\pi R} T \!
Kinematika gerak melingkar beraturan adalah
\theta(t) = \theta_0 + \omega\ t
dengan \theta(t)\! adalah sudut yang dilalui pada suatu saat t\!, \theta_0\! adalah sudut mula-mula dan \omega\! adalah kecepatan sudut (yang tetap nilainya). E. Gerak melingkar berubah beraturan ===
Gerak Melingkar Berubah Beraturan (GMBB) adalah gerak melingkar dengan percepatan sudut \alpha\! tetap. Dalam gerak ini terdapat percepatan tangensial a_T\! (yang dalam hal ini sama dengan percepatan linier) yang menyinggung lintasan lingkaran (berhimpit dengan arah kecepatan tangensial v_T\!).
\alpha = \frac {a_T} R
Kinematika GMBB adalah
\omega(t) = \omega_0 + \alpha\ t \!
\theta(t) = \theta_0 + \omega_0\ t + \frac12 \alpha\ t^2 \!
\omega^2(t) = \omega_0^2 + 2 \alpha\ (\theta(t) - \theta_0) \!
dengan \alpha\! adalah percepatan sudut yang bernilai tetap dan \omega_0\! adalah kecepatan sudut mula-mula.

Persamaan parametrik

Gerak melingkar dapat pula dinyatakan dalam persamaan parametrik dengan terlebih dahulu mendefinisikan:
  • titik awal gerakan dilakukan (x_0,y_0)\!
  • kecepatan sudut putaran \omega\! (yang berarti suatu GMB)
  • pusat lingkaran (x_c,y_c)\!
untuk kemudian dibuat persamaannya [2].
Hal pertama yang harus dilakukan adalah menghitung jari-jari lintasan R\! yang diperoleh melalui:
R = \sqrt{(x_0 - x_c)^2 + (y_0 - y_c)^2} \!
Setelah diperoleh nilai jari-jari lintasan, persamaan dapat segera dituliskan, yaitu
x(t) = x_c + R cos(\omega t + \phi_x) \!
y(t) = y_c + R sin(\omega t + \phi_y) \!
dengan dua konstanta \phi_x \! dan \phi_y \! yang masih harus ditentukan nilainya. Dengan persyaratan sebelumnya, yaitu diketahuinya nilai (x_0,y_0)\!, maka dapat ditentukan nilai \phi_x \! dan \phi_y \!:
\phi_x = \arccos \left( \frac{x_0 - x_c}{R} \right)\!
\phi_y = \arcsin \left( \frac{y_0 - y_c}{R} \right)\!
Perlu diketahui bahwa sebenarnya
\phi_x = \phi_y \!
karena merupakan sudut awal gerak melingkar.

Hubungan antar besaran linier dan angular

Dengan menggunakan persamaan parametrik, telah dibatasi bahwa besaran linier yang digunakan hanyalah besaran tangensial atau hanya komponen vektor pada arah angular, yang berarti tidak ada komponen vektor dalam arah radial. Dengan batasan ini hubungan antara besaran linier (tangensial) dan angular dapat dengan mudah diturunkan.

Kecepatan tangensial dan kecepatan sudut

Kecepatan linier total dapat diperoleh melalui
v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
dan karena batasan implementasi persamaan parametrik pada gerak melingkar, maka
v_T = v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}
dengan
v_x = \dot{x} = \frac{dx}{dt}
v_y = \dot{y} = \frac{dy}{dt}
diperoleh
v_x = -\omega R \sin(\omega t + \phi_x) \!
v_y = \omega R \cos(\omega t + \phi_x) \!
sehingga
v_T = \sqrt{(-\omega)^2 R^2 \sin^2(\omega t + \phi_x) + \omega^2 R^2 \cos^2(\omega t + \phi_x)}\!
v_T = \omega R \sqrt{\sin^2(\omega t + \phi_x) + \cos^2(\omega t + \phi_x)}\!
v_T = \omega R\!

Percepatan tangensial dan kecepatan sudut

Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, percepatan linier total dapat diperoleh melalui
a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}
dan karena batasan implementasi persamaan parametrik pada gerak melingkar, maka
a_T = a = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}
dengan
a_x = \ddot{x} = \frac{d^2x}{dt^2}
a_y = \ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2}
diperoleh
a_x = -\omega^2 R \cos(\omega t + \phi_x) \!
a_y = -\omega^2 R \sin(\omega t + \phi_x) \!
sehingga
a_T = \sqrt{(-\omega)^4 R^2 \cos^2(\omega t + \phi_x) + \omega^4 R^2 \sin^2(\omega t + \phi_x)}\!
a_T = \omega^2 R \sqrt{\cos^2(\omega t + \phi_x) + \sin^2(\omega t + \phi_x)}\!
a_T = \omega^2 R\!

Kecepatan sudut tidak tetap

Persamaan parametric dapat pula digunakan apabila gerak melingkar merupakan GMBB, atau bukan lagi GMB dengan terdapatnya kecepatan sudut yang berubah beraturan (atau adanya percepatan sudut). Langkah-langkah yang sama dapat dilakukan, akan tetapi perlu diingat bahwa
\omega \rightarrow \omega(t) = \int \alpha dt = \omega_0 + \alpha t \!
dengan \alpha\! percepatan sudut dan \omega_0\! kecepatan sudut mula-mula. Penurunan GMBB ini akan menjadi sedikit lebih rumit dibandingkan pada kasus GMB di atas.
Persamaan parametrik di atas, dapat dituliskan dalam bentuk yang lebih umum, yaitu:
x(t) = x_c + R \cos \theta \!
y(t) = y_c + R \sin \theta \!
di mana \theta = \theta(t) \! adalah sudut yang dilampaui dalam suatu kurun waktu. Seperti telah disebutkan di atas mengenai hubungan antara \theta \!, \omega \! dan \alpha \! melalui proses integrasi dan diferensiasi, maka dalam kasus GMBB hubungan-hubungan tersebut mutlak diperlukan.

Kecepatan sudut

Dengan menggunakan aturan rantai dalam melakukan diferensiasi posisi dari persamaan parametrik terhadap waktu diperoleh
v_x(t) = - R \sin \theta\ \frac{d\theta}{dt} = - \omega(t) R \sin \theta \!
v_y(t) = R \cos \theta \ \frac{d\theta}{dt} = \omega(t) R \cos \theta \!
dengan
\frac{d\theta}{dt} = \omega(t) = \omega_0 + \alpha\ t \!
Dapat dibuktikan bahwa
v(t) = v_T(t) = \sqrt{v_x^2(t) + v_y^2(t)} = \omega(t) R \!
sama dengan kasus pada GMB.

Percepatan total

Diferensiasi lebih lanjut terhadap waktu pada kecepatan linier dapat memberikan

yang dapat disederhanakan menjadi

Selanjutnya
yang umumnya dituliskan
dengan
yang merupakan percepatan sudut, dan
yang merupakan percepatan sentripetal. Suku sentripetal ini muncul karena benda harus dibelokkan atau kecepatannya harus diubah sehingga bergerak mengikuti lintasan lingkaran.

Gerak berubah beraturan

Gerak melingkar dapat dipandang sebagai gerak berubah beraturan. Bedakan dengan gerak lurus berubah beraturan (GLBB). Konsep kecepatan yang berubah kadang hanya dipahami dalam perubahan besarnya, dalam gerak melingkar beraturan (GMB) besarnya kecepatan adalah tetap, akan tetapi arahnya yang berubah dengan beraturan, bandingkan dengan GLBB yang arahnya tetap akan tetapi besarnya kecepatan yang berubah beraturan.
Gerak berubah beraturan
Kecepatan GLBB GMB
Besar berubah tetap
Arah tetap berubah
Diposting oleh di Tidak ada komentar:
Langganan: Postingan (Atom)